数学技术快速调整下一代透镜

我们大多数人都知道光学透镜是弯曲的透明塑料片或玻璃片，设计用来聚焦显微镜、眼镜、照相机等的光线。在大多数情况下，透镜的弯曲形状自几百年前发明以来并没有改变多少。

图片说明：麻省理工学院的数学家们开发了一种技术，可以快速确定超表面上数百万个单独的微观特征的理想排列，从而生成一个以特定方式操纵光线的平面透镜。研究小组在左侧设计了一个具有数百万特征的超表面。放大后的镜头图像（右）显示了各自的特征，每一个特征都以特定的方式蚀刻在一起，从而产生理想的光学效果。信用：林林

然而，在过去的十年里，工程师们已经创造了一种称为“超表面”的扁平、超薄材料，这种材料可以实现远超传统曲面透镜所能做到的光学技巧。工程师们将比一根头发的宽度小数百倍的单个特征蚀刻在这些超表面上，以创建能够使整个表面非常精确地散射光的图案。但要想产生理想的光学效果，真正需要知道需要什么样的模式。

这就是麻省理工学院的数学家们想出的解决方案。在本周发表在《光学快报》上的一项研究中，一个研究小组报告了一种新的计算技术，该技术可以快速确定超表面上数百万个个体的理想组成和排列，从而生成一个以特定方式操纵光的平面透镜。

以前的工作通过将可能的图案限制在预先确定的形状组合（例如具有不同半径的圆孔）来解决这个问题，但是这种方法只探索了可能生成的图案的一小部分。

这项新技术是第一个有效地为大规模光学超表面设计完全任意图案的技术，测量面积约为1平方厘米——相对较大的面积，考虑到每个特征的宽度不超过20纳米。麻省理工学院数学教授史蒂芬·约翰逊说，这种计算技术可以快速绘制出一系列理想光学效应的模式。

约翰逊说：“假设你想要一个能很好地适应几种不同颜色的透镜，或者你想把光聚焦到一个点上，而不是把它聚焦到一个点上，制造一束光或某种全息图或光阱。”“你可以告诉我们你想做什么，这项技术可以想出你应该做的模式。”

约翰逊在这篇论文中的合著者是主要作者林志玲、佩斯托里和刘维克多。

逐像素

一个单一的超表面通常被分为微小的纳米大小的像素。每个像素要么被蚀刻，要么保持原样。那些被蚀刻的可以放在一起形成任意数量的不同图案。

到目前为止，研究人员已经开发出计算机程序来搜索任何可能的像素模式，用于测量直径为数十微米的小型光学设备。例如，这种微小而精确的结构可以用来捕捉和引导超小型激光器中的光。通过求解麦克斯韦方程（描述光散射的一组基本方程）来确定这些小型设备的精确模式的程序，基于设备中的每个像素，然后逐像素调整模式，直到结构产生所需的光学效果。

但约翰逊说，这种逐像素模拟的任务几乎不可能实现大规模表面测量毫米或厘米。一台计算机不仅要处理更大的表面积、更大的像素数量级，还必须对许多可能的像素排列进行多次模拟，以最终获得最佳图案。

约翰逊说：“你必须在足够大的尺度上进行模拟，以捕捉整个结构，但要足够小以捕捉细节。”“如果你直接攻击它，这种组合真的是一个巨大的计算问题。如果你扔下地球上最大的超级计算机，你有很多时间，你可以模拟这些模式之一。但这将是一场巡回赛。”

上坡搜索

约翰逊的团队现在想出了一个快捷方式，可以有效地模拟大规模超曲面所需的像素模式。研究人员不必为每平方厘米材料中每一纳米大小的像素解麦克斯韦方程，而是为像素“补丁”解出这些方程。

他们开发的计算机模拟从一平方厘米随机蚀刻的纳米尺寸像素开始。他们把表面分成像素组，或者说斑块，并用麦克斯韦方程来预测每个斑块是如何散射光的。然后他们找到了一种方法，将补丁解决方案大致“缝合”在一起，以确定光线如何散射到整个随机蚀刻的表面上。

从这个初始模式开始，研究人员随后采用一种称为拓扑优化的数学技术，在多次迭代中实质上调整每个补丁的模式，直到最终的整体曲面或拓扑以首选的方式散射光。

约翰逊把这种方法比作试图蒙住眼睛爬上一座小山。为了产生理想的光学效果，贴片中的每个像素都应该有一个最佳的蚀刻图案，这可以被比喻为峰值。对于一个补丁中的每个像素，找到这个峰值被认为是一个拓扑优化问题。

“对于每一个模拟，我们都在寻找调整每个像素的方法，”约翰逊说。然后你就有了一个新的结构，你可以重新组合，你继续这样做，每次上山，直到达到一个高峰，或优化的模式。

与传统的逐像素方法相比，该团队的技术能够在几个小时内识别出一个最佳模式，而传统的逐像素方法如果直接应用于大的超曲面，几乎是难以处理的。

利用他们的技术，研究人员很快为几个“元器件”或具有不同光学特性的透镜找到了光学模式，包括从任何方向接收入射光并将其聚焦到一个点的太阳能聚光镜，以及将不同波长或颜色的光散射到相同的点，具有相同的焦点。

约翰逊说：“如果你的相机里有一个镜头，如果它聚焦在你身上，它应该同时聚焦于所有颜色。”“红色不应该聚焦，而应该是蓝色不聚焦。所以你必须想出一个图案，以相同的方式分散所有的颜色，使它们进入同一个点。我们的技术能够想出一个疯狂的模式。”

在未来，研究人员正与工程师合作，他们可以制造出他们的技术所映射出的复杂图案，以产生大的超表面，可能用于更精确的手机透镜和其他光学应用。

Pestourie说：“这些表面可以作为汽车自身的传感器，或者增强现实，在那里你需要良好的光学系统。”“这种技术使您能够处理更具挑战性的光学设计。”

这项研究部分由美国陆军研究办公室通过麻省理工学院士兵纳米技术研究所资助。